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  加法原理分类计数原理,常用于排列组合中,具体指:做件事情,完成它有n类方式,第类方式有M种方法,第二类方式有M种方法,……,第n类方式有Mn种方法,那么完成这件事情共有M+M+……+Mn种方法。

  做件事,完成它需要分成n个步骤,做第 步有m种不同方法,做第二步有m种不同方法,……,做第n步有mn种不同方法。那么完成这件事共有 N=m×m×m×…×mn 种不同方法。

  这个题因为和DP结合,状态设计比较难想~当我们用来表示到第i行,其中j列摆放个棋子,k列摆放两个棋子之后,我们不难发现状态转移就其实就加法原理和乘法原理应用:

  以下核心代码:

  个与分类有关,个与分步有关;加法原理 “分类完成”,乘法原理 “分步完成”。

  从个不同元素中,任取(m<=n,m与n均为自然数, 下同)个元素按照定顺序排成列,叫做从个不同元素中取出个元素个排列;从个不同元素中取出()个元素所有排列个数,叫做从个不同元素中取个元素排列数,用符号 表示。

  、全排列问题

  、部分排列

  就上面计算公式qwq

  个人中选() 个出来,不排队,不在乎顺序就。

  它和排列有关系为:

  (解释:因为要考虑顺序,选出来那m个人还需要全排列)

  、

  、

  、

  、

  、

  对于第二个公式应该很好理解,就反选,方案数量自然样。这体现它良好对称性。

  第三个公式平常用来递推。可以划分为子问题理解:为如果选第n个数,那么就在n-个数里面选择m-个数,如果不选第n个数,就在n-个数里面选m个数。证明如下:

  第四个公式很好证明(展开即可),这里介绍它应用:(二项式展开)求展开式各项系数。

  我们会想到杨辉三角进行预处理,但也可以直接利用公式:

  递推来解决。

  假设现在有n个元素,对于第类元素,有sum个重复,第二类元素,有sum个重复......第m类元素,有summ个重复,总方案数为:

  附上张来自wikipedia图帮助理解:

  上面讲解有限可重复元素排列问题,下面讲无限可重复元素排列问题(就每个元素都可以用无限多次参与排列)

  现在我们从m个元素中选择k个元素,然后我们将这k个元素进行排序之后应该这个样子:(设我们选择数为编号为

  那么现在我们将等于号消去:

  现在我们设,那么很容易我们可以发现

  那么现在问题就转换成在中选择k个不重复元素,那么根据我们组合公式,自然qwq

  同理还有求编号在~n元素中取k个元素,使得他们编号不相邻~式样,证明也样。

  这里有张来自wikipedia图,我觉得特别棒

  二项式系数公式:

  (可以看到,其实也可以用杨辉三角表示)

  综合起来就

  错排就诸如有~n n个人,每个人按照~n进行编号,现在要让他们排成队,但每个人不能在自己编号上问题。

  对于这个问题,luogu日报已经有专门期来进行详细讲解~~

  传送门——戳我~~

  错排递推公式:

  从n个不同元素中不重复地取出m(≤m≤n)个元素在个圆周上,叫做这n个不同元素圆排列。如果个m-圆排列旋转可以得到另个m-圆排列,则认为这两个圆排列相同。

  n个不同元素m-圆排列个数N为:

  特别地,当m=n时,n个不同元素作成圆排列总数N为:

  现在个环被分成n段,要求每段上都涂上颜色。共有k种不同颜色,涂好之后两两相邻颜色不能相同。问有多少种涂色方案?

  这个问题我们可以这样考虑:

  第种情况:如果我们把原先环看作只有段,进行涂色,那么就子问题,而且因为现在两两相邻定颜色不同,所以这时候我们再添加个话就乘上;

  第二种情况:我们把原先环看作段,,这样话转换成子问题,然后我们随意将段分为两段,这时候还差段,在两个相同颜色中间插入种颜色,自然有种选择方法。

  递推公式整理如下:

  这个二阶常系数递推式,推导之后通项公式如下:

  、如果p质数而且比较小,可以使用lucas定理

  、如果 可以先预处理出来逆元,然后直接算qwq

  具体就可以把右边那个减数转移到左边来。。其他合并很直观qwq

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